На плоскости взяли пять точек. Через все пары этих точек провели прямые. Сколько при этом могло получиться прямых? Разберите все случаи.

Короткий ответ: возможны только 1, 5, 8 или 10 прямых.

Разбор по случаям (везде считаем, что точки различны):

1. Все 5 точек на одной прямой
   Тогда все пары дают одну и ту же прямую. Получаем 1 прямую.

2. Четыре точки коллинеарны, пятая вне этой прямой
   — Пары внутри четвёрки дают одну (и ту же) прямую.
   — С пятой точкой получаем 4 разные прямые (по одной через неё и каждого из четырёх).
   Итого 1 + 4 = 5 прямых.

3. Есть ровно три коллинеарные точки (а две другие не лежат с ними на одной прямой)
   Здесь два подварианта, но счёт одинаков:

• 3 + 2: три на одной прямой и ещё две на другой (не совпадающей с первой).

• 3 + 1 + 1: три на одной и две одиночные.
  В обоих случаях:
  — Внутри тройки даёт 1 прямую (вместо трёх разных).
  — Каждая точка вне тройки соединяется с каждым из тройки и даёт 3 разные прямые.
  — Если вне тройки две точки, линия между ними тоже отдельная.
  Подсчёт даёт 8 прямых.

4. Ни трёх коллинеарных (общее положение)
   Каждая из C(5, 2) пар даёт свою прямую, совпадений нет. Получаем 10 прямых.

Почему других чисел быть не может
Удобно смотреть на «потери» от максимума 10. Любая коллинеарность ≥3 «склеивает» несколько пар в одну прямую:

• тройка точек: вместо 3 пар — 1 прямая, потеря 2;

• четвёрка: вместо 6 пар — 1 прямая, потеря 5;

• пятёрка: вместо 10 пар — 1 прямая, потеря 9.
  Суммарная потеря — сумма таких «2», «5», «9» по всем коллинеарным наборам размером ≥3 (а наборов может быть фактически только один, потому что точек всего пять). Отсюда возможны только 10 − 0 = 10, 10 − 2 = 8, 10 − 5 = 5, 10 − 9 = 1. Числа 2, 3, 4, 6, 7, 9 не представимы как 10 минус сумму из {2,5,9} в условиях с пятью точками, поэтому недостижимы.

Итог: при пяти точках на плоскости число различных прямых, проведённых через все пары, может быть только 1, 5, 8 или 10.