Докажите, что в подобных треугольниках высоты, проведённые из вершин соответственных углов, относятся как соответственные стороны.

Рассмотрим два подобных треугольника $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$. Пусть коэффициент подобия равен

Обозначим через $h_a$ высоту, опущенную из вершины $A$ на сторону $BC$, а через $h'_a$ — высоту, опущенную из вершины $A'$ на сторону $B'C'$. Нужно доказать, что

и аналогично для высот из $B$ и $C$.

Два стандартных доказательства.

1) Через площади

Площади треугольников выражаются через основание и соответствующую высоту:

Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:

Подставляя выражения через высоты,

Отсюда $\;k^2 = k\cdot \dfrac{h_a}{h'_a}\;\Rightarrow\;\dfrac{h_a}{h'_a}=k$.
Но $k=\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{CA}{C'A'}$