Вершины правильного треугольника АВС с периметром 18 см лежат на сфере. Найдите площадь сферы, если расстояние от ее центра до плоскости треугольника = 2

Решение задачи

У нас есть правильный треугольник $ABC$ с периметром 18 см, который лежит на сфере. Известно, что расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 2 см. Нужно найти площадь сферы.

Шаг 1. Найдем длину стороны треугольника $ABC$

Поскольку треугольник правильный, его стороны равны. Периметр треугольника равен $P = 18$, значит длина одной стороны:

Шаг 2. Найдем радиус описанной окружности треугольника $R$

Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через его сторону:

где $a = 6$. Подставляем значение:

Это радиус описанной окружности треугольника, который совпадает с радиусом сферы.

Шаг 3. Учитываем расстояние от центра сферы до плоскости треугольника

Расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 2 см. Это расстояние является высотой от центра сферы к описанной окружности треугольника. Теперь применим теорему Пифагора для определения радиуса сферы $R_\text{сф}$:

где:

• $R = 2\sqrt{3} \, \text{см}$ — радиус описанной окружности треугольника,
• $h = 2 \, \text{см}$ — расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Подставляем значения:

Шаг 4. Найдем площадь сферы

Формула площади сферы:

Подставляем $R_\text{сф} = 4 \, \text{см}$:

Ответ:

Площадь сферы равна $64\pi \, \text{см}^2$.