АВСД - выпуклый четырёхугольник, АВ=6 см, ВС=9 см, СД=10 см, ДА=25 см, АС=15 см. Докажите, что АВСД - трапеция.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию

Но тогда

В любом треугольнике выполняется неравенство $AB+BC\ge AC$, причём равенство возможно только в случае, когда точки $A,B,C$ лежат на одной прямой и точка $B$ находится между $A$ и $C$. Значит,

(1) точки $A,B,C$ коллинеарны (лежат на одной прямой), причём $B\in AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию

и снова получаем

Аналогично предыдущему рассуждению равенство в неравенстве треугольника означает, что точки $A,C,D$ лежат на одной прямой, причём $C$ находится между $A$ и $D$. То есть

(2) точки $A,C,D$ коллинеарны, причём $C\in AD$.

Из (2) следует, что прямая $AD$ совпадает с прямой $AC$. Из (1) следует, что $B$ лежит на прямой $AC$. Следовательно, все четыре точки $A,B,C,D$ лежат на одной прямой.

Тогда отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной и той же прямой, а значит, они параллельны (в частности, коллинеарные прямые считаются параллельными):

Итак, в четырёхугольнике $ABCD$ одна пара противоположных сторон параллельна, следовательно, $ABCD$ — трапеция.