а) Многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) Треугольник является правильным, если все его стороны равны; в) Любой равносторонний треугольник является правильным; г) Любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.

Коротко: правильный многоугольник — это выпуклый и одновременно равносторонний и равноугольный.

а) Неверно. Выпуклость и равенство сторон ещё не делают многоугольник правильным: углы тоже должны быть равны. Контрпример: любой ромб, который не квадрат (скажем, с углами 60° и 120°). Он выпуклый и равносторонний, но углы разные — значит, не правильный.

б) Верно. В треугольнике из равенства всех трёх сторон следует равенство всех трёх углов (углы, лежащие напротив равных сторон, равны). Тогда каждый угол равен 60°, треугольник равносторонний и равноугольный, то есть правильный.

в) Верно. Это по сути переформулировка пункта (б): всякий равносторонний треугольник автоматически равноугольный, а треугольник не бывает невыпуклым, следовательно — правильный.

г) Неверно. «Четырёхугольник с равными сторонами» — это ромб. Правильным из ромбов является только квадрат (когда все углы по 90°). Любой ромб с неравными углами — не правильный.

Итог: (а) — нет, (б) — да, (в) — да, (г) — нет.