Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором диагонали AC и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками. а) Выполните рисунок к задаче. б) Докажите, что полученный четырёхугольник - трапеция

Задача описывает четырёхугольник ABCD, у которого диагонали AC и BD равны. Нам нужно решить два вопроса: сначала построить рисунок, а затем доказать, что полученный четырёхугольник, образованный соединением середин сторон, является трапецией.

а) Рисунок

Для того чтобы построить рисунок, нужно изобразить четырёхугольник ABCD с равными диагоналями AC и BD. Это можно сделать, например, нарисовав произвольный четырёхугольник с диагоналями, которые пересекаются и имеют одинаковую длину. Далее на рисунке нужно отметить середины сторон этого четырёхугольника и соединить эти середины отрезками.

1. Начнем с того, что рисуем четырёхугольник ABCD с равными диагоналями AC и BD.
2. Отмечаем середины сторон AB, BC, CD и DA. Обозначим эти середины как M, N, O и P соответственно.
3. Соединяем последовательно эти середины: отрезок MN соединяет середины AB и BC, отрезок NO — середины BC и CD, отрезок OP — середины CD и DA, и отрезок PM — середины DA и AB.

Таким образом, мы получаем новый четырёхугольник, образованный соединением середин сторон исходного четырёхугольника.

б) Доказательство, что полученный четырёхугольник — трапеция

Теперь нужно доказать, что четырёхугольник MNOP, образованный соединением середин сторон ABCD, является трапецией.

Для этого воспользуемся известной геометрической теоремой: если в любом четырёхугольнике соединить середины его сторон, то полученный четырёхугольник всегда будет трапецией, при этом его боковые стороны будут параллельны.

1. Доказательство, что одна пара противоположных сторон параллельна:

   Рассмотрим отрезки MN и OP. Эти отрезки соединяют середины противоположных сторон четырёхугольника ABCD, то есть стороны AB и CD. По теореме о средней линии в треугольнике, отрезки, соединяющие середины двух сторон, параллельны третьей стороне. В данном случае, отрезки MN и OP являются средними линиями в треугольниках, образованных диагоналями AC и BD, а значит, они параллельны друг другу.

2. Параллельность других противоположных сторон:

   Аналогично, отрезки NO и PM соединяют середины сторон BC и DA. Поскольку отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, также будут параллельны, то NO и PM тоже будут параллельны друг другу.

3. Заключение:

   Мы доказали, что одна пара противоположных сторон четырёхугольника MNOP (MN и OP) параллельна, а другая пара (NO и PM) также параллельна. Параллельность противоположных сторон в четырёхугольнике означает, что полученный четырёхугольник является трапецией.

Таким образом, четырёхугольник MNOP является трапецией, как и требовалось доказать.