Высота цилиндра равна 4 м, расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью сечения равно 3 м, а площадь сечения – 32 м². Найти объем цилиндра. 1) 100π м³; 2) 20π м³; 3) 45π м³; 4) 70π м³.

Плоскость сечения параллельна оси цилиндра, то есть это “вертикальная” плоскость. Тогда сечение правого кругового цилиндра является прямоугольником:

• одна сторона прямоугольника равна высоте цилиндра: $h=4$ м;

• другая сторона — это хорда в основании цилиндра, которую “вырезает” эта плоскость.

1) Найдём длину хорды по площади сечения

Площадь сечения дана: $S=32\ \text{м}^2$.

Так как сечение — прямоугольник,

где $l$ — длина хорды.

Тогда

2) Свяжем хорду с радиусом основания

Расстояние от оси цилиндра (то есть от центра основания) до плоскости сечения равно $d=3$ м. В основании это означает: плоскость задаёт прямую на расстоянии $3$ м от центра круга, а её пересечение с кругом — хорда длины $8$.

Для хорды круга радиуса $R$ на расстоянии $d$ от центра:

Подставим $l=8$, $d=3$:

3) Найдём объём цилиндра

Ответ: $100\pi\ \text{м}^3$ — вариант 1).