Параллельная оси цилиндра плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90°. Площадь сечения цилиндра этой плоскостью равна 240 кв. ед. изм.
Определи расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения, если высота цилиндра равна 20 ед. изм.

Ответ: расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно ‾‾‾‾‾√ ед. изм.

Для решения этой задачи введём следующие обозначения:

• Радиус основания цилиндра обозначим как $R$.
• Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения обозначим как $d$.

Анализ задачи

Параллельная оси цилиндра плоскость пересекает основание цилиндра, образуя дугу в 90°. Это значит, что плоскость проходит на расстоянии $d$ от оси цилиндра и пересекает окружность основания так, что образуется дуга, соответствующая центральному углу в 90° или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

Площадь сечения цилиндра этой плоскостью равна 240 кв. ед. изм. Высота цилиндра дана и равна 20 ед. изм.

Определение площади сечения

Так как плоскость проходит параллельно оси цилиндра, сечение будет представлять собой прямоугольник, одна из сторон которого равна высоте цилиндра $h = 20$ ед., а другая сторона равна длине отрезка, отсекаемого дугой в основании цилиндра.

Теперь найдём длину этого отрезка в основании цилиндра.

Длина отрезка в основании

При центральном угле $\theta = 90^\circ$, длина хорды, образуемой сечением, выражается формулой:

где $R$ — радиус окружности основания цилиндра, а $d$ — расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.

Выражение площади сечения

Площадь прямоугольного сечения $S$ равна произведению длины хорды $L$ на высоту цилиндра $h$:

Подставим значение высоты $h = 20$:

Из условия задачи известно, что площадь $S = 240$. Подставим это значение и решим уравнение относительно $R^2 - d^2$:

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

Определение радиуса $R$

Так как угол, соответствующий дуге, равен 90° (четверть окружности), можно записать: