Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной оси, так, что в сечении получился квадрат с диагональю, равной \( a \sqrt{2} \) см. Сечение отсекает от окружности основания дугу в 60 градусов. Найти площадь полной поверхности цилиндра. Найти расстояние от оси цилиндра до диагонали сечения.

Пусть радиус основания цилиндра равен $R$, высота — $h$.

1) Геометрия сечения

Плоскость параллельна оси цилиндра, значит сечение цилиндра этой плоскостью — прямоугольник, у которого:

• одна сторона равна высоте цилиндра $h$;

• другая сторона равна длине хорды, которую эта плоскость высекает в окружности основания.

По условию сечение — квадрат, а его диагональ равна $a\sqrt2$ см.
Для квадрата со стороной $s$: $\;d = s\sqrt2$. Тогда

Значит у квадрата сторона $a$, следовательно:

• высота цилиндра $h = a$;

• длина хорды в основании тоже равна $a$.

2) Связь хорды с углом дуги $60^\circ$

Сечение «отсекает от окружности основания дугу в $60^\circ$», то есть соответствующая хорда стягивает центральный угол $\theta = 60^\circ$.

Длина хорды круга радиуса $R$:

Подставляем $\theta = 60^\circ$:

Но $\ell = a$. Значит

Итак, параметры цилиндра:

3) Площадь полной поверхности цилиндра

Полная поверхность:

Подставляем $R=a,\; h=a$:

Ответ:

4) Расстояние от оси цилиндра до диагонали сечения

Сначала найдём, на каком расстоянии от центра основания находится хорда (а значит и сама секущая плоскость, ведь она вертикальная, параллельна оси).

Расстояние от центра круга до хорды, стягивающей угол $\theta$:

При $\theta = 60^\circ$:

Так как $R=a$, получаем

Теперь важное наблюдение: диагональ квадрата сечения лежит в этой же плоскости сечения, а ось цилиндра параллельна этой плоскости. Для диагонали квадрата направление имеет вертикальную составляющую (по оси цилиндра) и горизонтальную (в плоскости основания), но не имеет составляющей перпендикулярно плоскости сечения. Поэтому кратчайший отрезок от оси до диагонали идёт перпендикулярно плоскости сечения, то есть его длина равна просто расстоянию от оси до плоскости, а это и есть $d$.

Следовательно, расстояние от оси цилиндра до диагонали сечения:

Итоговые ответы