Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь сечения равна Q.

Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти, исходя из информации о площади сечения и геометрии цилиндра.

1. Параметры задачи:

   • Пусть $R$ — радиус основания цилиндра.

   • Сечение параллельно оси цилиндра отсекает дугу в 120 градусов.

   • Площадь сечения цилиндра равна $Q$.

2. Площадь сечения цилиндра:
   Площадь сечения цилиндра представляет собой сектор окружности с центральным углом 120 градусов. Площадь сектора можно найти по формуле:

   $$S = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$$

   где $\alpha = 120^\circ$, а $R$ — радиус окружности основания цилиндра. Подставляем значение угла:

   $$S = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi R^2$$

   Таким образом, площадь сечения равна $\frac{1}{3} \pi R^2$. Мы знаем, что площадь сечения равна $Q$, следовательно:

   $$Q = \frac{1}{3} \pi R^2$$

   Из этого уравнения можно выразить $R^2$:

   $$R^2 = \frac{3Q}{\pi}$$

3. Площадь боковой поверхности цилиндра:
   Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

   $$A_{\text{бок}} = 2 \pi R h$$

   где $h$ — высота цилиндра. Чтобы найти $h$, воспользуемся тем, что сечение параллельно оси цилиндра, и при этом оно отсекает дугу в 120 градусов. Длина дуги этого сектора равна:

   $$L = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 2 \pi R = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi R = \frac{2 \pi R}{3}$$

   Эта длина дуги является шириной прямоугольного сечения боковой поверхности цилиндра, поэтому можно записать:

   $$L = h$$

   Отсюда:

   $$h = \frac{2 \pi R}{3}$$

4. Подставляем значения для $R$ и $h$:
   Теперь, зная, что $R^2 = \frac{3Q}{\pi}$ и $h = \frac{2 \pi R}{3}$, подставим эти значения в формулу для площади боковой поверхности:

   $$A_{\text{бок}} = 2 \pi R \cdot \frac{2 \pi R}{3} = \frac{4 \pi^2 R^2}{3}$$

   Подставляем значение $R^2$:

   $$A_{\text{бок}} = \frac{4 \pi^2}{3} \cdot \frac{3Q}{\pi} = 4 \pi Q$$

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна $4 \pi Q$.