хорда нижнего основания цилиндра отсекает от окружности основания дугу в 120 градусов. отрезок,соединяющий центр верхнего основания с серединой данной хорды,равен 4 корня из 2 см и образует с плоскостью основания угол 45 градусов. найдите площадь осевого сечения цилиндра

Задача состоит в нахождении площади осевого сечения цилиндра, при этом даны следующие параметры:

• Хорда нижнего основания цилиндра отсекает дугу в 120 градусов.
• Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, равен $4\sqrt{2}$ см.
• Этот отрезок образует с плоскостью основания угол 45 градусов.

Рассмотрим шаги решения:

Шаг 1. Понимание геометрии задачи

Цилиндр имеет два основания (верхнее и нижнее), которые представляют собой окружности, и осевое сечение — это сечение, которое проходит через ось цилиндра.

Хорда на нижнем основании отсекает дугу в 120 градусов. Это значит, что угол центральной дуги между концами хорды составляет 120 градусов. Таким образом, хорда делит окружность на две части, и длина хорды связана с радиусом окружности.

Шаг 2. Использование данных о хорде

Обозначим радиус основания цилиндра за $R$. Из геометрии окружности известно, что длина хорды, которая отсекает дугу в $120^\circ$, вычисляется по формуле:

Так, длина хорды на основании цилиндра равна $R\sqrt{3}$.

Шаг 3. Геометрия осевого сечения

Для того чтобы найти площадь осевого сечения цилиндра, нужно рассмотреть его как прямоугольный треугольник, образованный радиусом цилиндра $R$ и высотой $h$, которая будет нам неизвестна на данный момент. Однако, у нас есть дополнительная информация: отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, равен $4\sqrt{2}$ см и образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

Шаг 4. Вычисление высоты цилиндра

Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды, фактически является гипотенузой прямоугольного треугольника, где одна из сторон является высотой цилиндра $h$, а другая — расстоянием от центра основания до серединной хорды, которое можно обозначить как $r$. Также этот отрезок образует угол 45 градусов с плоскостью основания.

Используя тригонометрию прямоугольного треугольника, мы можем записать:

Отсюда:

Так как $r$ — это расстояние от центра нижнего основания до середин хорды, это означает, что $r = R$, то есть радиус цилиндра равен 4 см.

Шаг 5. Площадь осевого сечения

Теперь, зная радиус основания цилиндра $R = 4$ см, можно найти площадь осевого сечения. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, у которого катеты — это радиус основания и высота цилиндра. Для вычисления высоты цилиндра используем тот факт, что расстояние от центра верхнего основания до середин хорды равно $4\sqrt{2}$.

Площадь осевого сечения будет равна:

Ответ: площадь осевого сечения цилиндра равна 8 см².