В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 1.высота корень из 2.М - середина АА1. Найти расстояние от М до DA1C1

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму (то есть прямую призму с квадратом в основании). Пусть квадрат основания $ABCD$ имеет сторону $1$, а высота призмы $AA_1=\sqrt2$. Точки $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее основание.

Нужно найти расстояние от точки $M$ (середина ребра $AA_1$) до плоскости $DA_1C_1$ (по трём точкам $D, A_1, C_1$ однозначно задаётся плоскость).

1) Введём координаты

Удобно задать прямоугольную систему координат:

Высота по оси $z$, $h=\sqrt2$:

Точка $M$ — середина $AA_1$:

2) Найдём уравнение плоскости $DA_1C_1$

Возьмём точку $D(0,1,0)$ и два направляющих вектора плоскости:

Нормальный вектор плоскости — их векторное произведение:

Считаем:

То есть при $h=\sqrt2$:

Уравнение плоскости через точку $D$: