1)В прямоугольном параллелепипеде длина диагонали 4√(21 )см, длины его измерений относятся как 1: 2 : 4. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.

2)В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4 м, а высота равна 2 м. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания; площадь полной поверхности пирамиды.

1) Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда

Условия задачи:

• Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна $4\sqrt{21}$ см.
• Отношение его измерений — $1 : 2 : 4$.

Обозначим длины сторон параллелепипеда как $a$, $2a$, и $4a$.

Шаг 1: Выразим диагональ через стороны Формула для диагонали прямоугольного параллелепипеда:

По условию задачи, диагональ равна $4\sqrt{21}$. Приравняем:

Отсюда находим $a$:

Шаг 2: Найдем длины сторон Теперь подставим значение $a$ в формулы для сторон:

Шаг 3: Площадь полной поверхности Формула для площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:

Подставим длины сторон $a = 4$, $b = 8$, и $c = 16$:

Ответ: площадь полной поверхности параллелепипеда равна $448 \, \text{см}^2$.

2) Угол наклона боковой грани к плоскости основания и площадь полной поверхности пирамиды

Условия задачи:

• Пирамида правильная четырёхугольная.
• Сторона основания $a = 4$ м.
• Высота пирамиды $h = 2$ м.

Шаг 1: Найдем апофему пирамиды Для вычисления угла наклона боковой грани к основанию нужно найти апофему — высоту боковой грани.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота опущена в центр основания. Это центр квадрата, и расстояние от центра до любой вершины основания (радиус вписанной окружности) будет равно половине диагонали квадрата.

Диагональ квадрата:

Расстояние от центра до вершины основания (полу-диагональ):

Теперь найдём апофему (длину боковой грани) $l$ по теореме Пифагора:

Шаг 2: Угол наклона боковой грани к плоскости основания Для нахождения угла наклона боковой грани используем тригонометрическую функцию:

Подставляем значения $h = 2$ м и $l = 2\sqrt{3}$