В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 16, а боковое ребро АА1=1. ТОчка W принаджлежит ребру А1В1 и делит его в отношении 1:3, считая от вершины А1. Найдите площадь сечения проходящего через точки А,С, W.

Задача состоит в нахождении площади сечения правильной четырёхугольной призмы, проходящего через точки A, C и W. Давайте разберём её шаг за шагом.

Шаг 1: Рассмотрим геометрическую фигуру.

У нас есть правильная четырёхугольная призма, основание которой — квадрат со стороной 16, а боковое ребро (например, AA1) равно 1. То есть призма состоит из двух квадратных оснований и четырёх прямоугольных боковых граней.

• Координаты точек основания:

  • $A(0, 0, 0)$
  • $B(16, 0, 0)$
  • $C(16, 16, 0)$
  • $D(0, 16, 0)$

• Координаты точек верхнего основания (все ребра высоты равны 1):

  • $A1(0, 0, 1)$
  • $B1(16, 0, 1)$
  • $C1(16, 16, 1)$
  • $D1(0, 16, 1)$

Шаг 2: Рассмотрим точку W.

Точка $W$ делит ребро $A1B1$ в отношении 1:3, считая от вершины $A1$. То есть $W$ находится на пути от $A1(0, 0, 1)$ до $B1(16, 0, 1)$, и в этом случае можно использовать параметрическое уравнение для нахождения координат точки $W$.

Параметрическое уравнение для ребра $A1B1$ с параметром $t$ (где $t$ от 0 до 1) имеет вид:

Поэтому:

Теперь точка $W$ делит $A1B1$ в отношении 1:3, то есть $t = \frac{1}{4}$. Подставляем это значение в уравнение:

Таким образом, координаты точки $W$ — $(4, 0, 1)$.

Шаг 3: Находим уравнение плоскости сечения.

Плоскость проходит через три точки: $A(0, 0, 0)$, $C(16, 16, 0)$ и $W(4, 0, 1)$.

Для нахождения уравнения плоскости, нужно вычислить два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор $\overrightarrow{AC} = C - A = (16, 16, 0) - (0, 0, 0) = (16, 16, 0)$
• Вектор $\overrightarrow{AW} = W - A = (4, 0, 1) - (0, 0, 0) = (4, 0, 1)$

Теперь находим нормаль к плоскости, которая будет перпендикулярна этим векторам. Для этого вычислим векторное произведение $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AW}$: