Дано: AD — биссектриса угла CAB. Угол CDA = углу ADB. Докажите, что треугольник CDA = треугольнику ADB.

Рассмотрим треугольники $\triangle CDA$ и $\triangle ADB$. Нужно доказать, что они равны (конгруэнтны).

1. Дан угол при вершине $D$:
   По условию

Это один равный угол в рассматриваемых треугольниках.

2. Используем то, что $AD$ — биссектриса угла $CAB$:
   Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle CAB$, то она делит этот угол пополам, то есть

Заметим, что угол $\angle CAD$ — это угол треугольника $CDA$ при вершине $A$, а $\angle DAB$ — угол треугольника $ADB$ при вершине $A$. Значит, мы получили второй равный угол в этих треугольниках.

3. Общая сторона:
   Сторона $AD$ является общей для треугольников $CDA$ и $ADB$, следовательно

4. Применяем признак равенства треугольников:
   В треугольниках $\triangle CDA$ и $\triangle ADB$ выполнено:

• $\angle CDA = \angle ADB$ (по условию),

• $\angle CAD = \angle DAB$ (так как $AD$ — биссектриса),

• $AD$ — общая сторона.

Причём сторона $AD$ лежит между равными углами: в $\triangle CDA$ это углы при $A$ и $D$, и в $\triangle ADB$ тоже углы при $A$ и $D$. Значит, треугольники равны по признаку по стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA).

Следовательно,