В равнобедренном треугольнике АВС к основанию АС проведена высота ВD,равная 8см.Найдите периметр треугольника ВDС, если периметр треугольника АВС равен 38см.

В задаче речь идет о равнобедренном треугольнике $ABC$, в котором проведена высота $BD$, опущенная на основание $AC$, и эта высота равна 8 см. Нужно найти периметр треугольника $BDC$, если периметр треугольника $ABC$ равен 38 см.

Шаг 1: Разобьем треугольник

1. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то высота $BD$ делит основание $AC$ на две равные части. Обозначим длину основания $AC$ за $x$, тогда каждый из отрезков $AD$ и $DC$ будет равен $\frac{x}{2}$.

2. Периметр треугольника $ABC$ равен 38 см. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Так как треугольник равнобедренный, то его две боковые стороны $AB$ и $BC$ равны между собой. Обозначим длину каждой из боковых сторон за $y$. Таким образом, периметр треугольника можно выразить как:

Шаг 2: Используем свойства прямоугольного треугольника

1. Поскольку $BD$ — это высота, проведенная к основанию $AC$, то треугольники $ABD$ и $BCD$ являются прямоугольными.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$. По теореме Пифагора для треугольника $ABD$ имеем:

Поскольку $AD = \frac{x}{2}$ и $BD = 8$, то:

Шаг 3: Найдем периметр треугольника $BDC$

1. Треугольник $BDC$ является прямоугольным с гипотенузой $BC = y$, одним катетом $BD = 8$, и другим катетом $DC = \frac{x}{2}$.

2. Периметр треугольника $BDC$ равен:

Шаг 4: Решение системы

У нас есть система уравнений:

Из уравнения (1) выразим $x$:

Подставим это выражение для $x$ в уравнение (2):

Теперь раскрываем квадрат:

Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

Упрощаем:

Решаем относительно $y$:

Теперь подставим это значение в уравнение для $x$:

Шаг 5: Находим периметр треугольника $BDC$

Теперь, зная $y$ и $x$, можем найти периметр треугольника $BDC$