Задан острый угол. На одной из сторон отмечены 2 точки С и D. От этих точек проведены перпендикулярные прямые к другой стороне угла, соответственно CE и DF. Докажите, что эти прямые параллельны друг другу. Чему равен угол CDF, если угол ECD равен 135°?

Для доказательства параллельности прямых $CE$ и $DF$ воспользуемся свойствами углов и перпендикулярности.

Шаг 1: Параллельность прямых $CE$ и $DF$

1. У нас есть острый угол $A$, одна из его сторон — луч $AB$, на котором лежат точки $C$ и $D$.
2. Проведены перпендикулярные прямые $CE$ и $DF$ к другой стороне угла, назовем её $AO$.
3. Так как $CE$ и $DF$ перпендикулярны одной и той же прямой $AO$, то они автоматически параллельны друг другу. Это следует из основного свойства перпендикулярных и параллельных прямых: если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Итак, $CE \parallel DF$.

Шаг 2: Вычисление угла $\angle CDF$

Теперь найдём угол $\angle CDF$, если угол $\angle ECD = 135^\circ$.

1. Поскольку $CE \parallel DF$ и они пересекаются секущей $CD$, то углы $\angle ECD$ и $\angle CDF$ будут внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей.
2. Согласно свойству внутренних односторонних углов, сумма углов $\angle ECD$ и $\angle CDF$ должна равняться $180^\circ$: $$\angle ECD + \angle CDF = 180^\circ$$
3. Подставим известное значение: $$135^\circ + \angle CDF = 180^\circ$$
4. Выразим угол $\angle CDF$: $$\angle CDF = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$

Ответ

Итак, мы доказали, что прямые $CE$ и $DF$ параллельны, а угол $\angle CDF$ равен $45^\circ$.