Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках P и E соответственно. Известно, что BC = 4 см, AD = 14 см, а сумма сторон AB и CD равна 28 см. Найдите отрезок PE, если в каждую из трапеций APED и PBCE можно вписать окружность.

Давай разберём задачу шаг за шагом.

У нас есть трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD = 14$ см и $BC = 4$ см. Прямая, параллельная основаниям, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $P$ и $E$. Сумма сторон $AB + CD = 28$ см. Также известно, что в трапеции можно вписать окружности в обе меньшие трапеции $APED$ и $PBCE$.

Шаг 1: Используем свойство трапеций с вписанной окружностью

Если окружность вписана в трапецию, то сумма противоположных сторон равна. Для трапеции с основаниями $x$ и $y$ и боковыми сторонами $p$ и $q$ условие вписанной окружности:

Проверим для всей трапеции:

Да, это условие не выполнено для всей трапеции, но в задаче говорится о малых трапециях $APED$ и $PBCE$. Значит, на них и будем применять условие.

Шаг 2: Вводим переменные

Обозначим:

• $AP = x$, тогда $PB = AB - x$

• $DE = y$, тогда $EC = CD - y$

Тогда меньшие трапеции:

1. $APED$ с основаниями $AD = 14$ и $PE$, боковыми $AP = x$ и $DE = y$. Условие вписанной окружности:

2. $PBCE$ с основаниями $BC = 4$ и $PE$, боковыми $PB = AB - x$ и $EC = CD - y$. Условие вписанной окружности:

Шаг 3: Составим уравнение

Приравниваем два выражения для $PE$:

Соберём подобные:

Шаг 4: Находим $PE$

Подставляем $x + y = 19$ в любое выражение для $PE$, например:

✅ Ответ

Вывод: длина отрезка $PE$, который делит трапецию на две трапеции с вписанными окружностями, равна 5 см.