Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16, а площадь равна 32√3 .

Для нахождения острых углов прямоугольного треугольника, нам нужно использовать данные: гипотенуза $c = 16$ и площадь $S = 32\sqrt{3}$. Следуем шаг за шагом.

1. Связь между катетами и площадью

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как:

где $a$ и $b$ — катеты треугольника.

Подставляем значение площади:

Умножим обе стороны уравнения на 2:

2. Связь между катетами и гипотенузой

По теореме Пифагора:

Так как $c = 16$, получаем:

3. Система уравнений

У нас есть система из двух уравнений:

1. $ab = 64\sqrt{3}$,
2. $a^2 + b^2 = 256$.

4. Решение системы

Выразим $b$ через $a$ из первого уравнения:

Подставим это в уравнение Пифагора:

Упростим:

Считаем квадрат $64\sqrt{3}$:

Получаем:

Умножим на $a^2$, чтобы избавиться от дроби:

5. Решение биквадратного уравнения

Обозначим $x = a^2$, тогда уравнение становится:

Решим квадратное уравнение:

Подставляем $a = 1$, $b = -256$, $c = 12288$: