Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=21 см, BC=5 см, а площадь трапеции AEFD относится к площади трапеции EFCB как 45:7.

Для решения задачи можно использовать теорему о пропорциональных отрезках, которые образуются при пересечении трапеции прямыми, параллельными основаниям. Давайте разберемся шаг за шагом.

Дано:

• Трапеция ABCD с основаниями $AD = 21$ см и $BC = 5$ см.
• Прямая $EF$, параллельная основаниям $AD$ и $BC$, пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно.
• Площадь трапеции $AEFD$ к площади трапеции $EFCB$ относится как $45:7$.

1. Обозначения:

Площадь трапеции можно выразить через её основания и высоту. Пусть $h_1$ — высота трапеции $AEFD$, а $h_2$ — высота трапеции $EFCB$. Тогда общая высота всей трапеции $ABCD$ будет равна $h_1 + h_2$.

2. Пропорциональность площадей:

Площадь трапеции пропорциональна полусумме её оснований и высоте. Площадь трапеции $AEFD$ и $EFCB$ пропорциональны длинам отрезков, полученным на боковых сторонах $AB$ и $CD$.

Площадь трапеции $AEFD$ можно выразить как:

где $AD = 21$ см, $EF$ — искомая длина отрезка, и $h_1$ — высота трапеции $AEFD$.

Площадь трапеции $EFCB$ будет:

где $BC = 5$ см и $h_2$ — высота трапеции $EFCB$.

Так как площади этих трапеций относятся как 45:7, имеем соотношение:

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$:

Упростим:

3. Пропорциональность высот:

Поскольку прямая $EF$ параллельна основаниям трапеции, то высоты $h_1$ и $h_2$ пропорциональны расстояниям от основания $AD$ до прямой $EF$ и от прямой $EF$ до основания $BC$. Таким образом, можно записать:

4. Решение системы:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{(21 + EF) h_1}{(EF + 5) h_2} = \frac{45}{7}$,
2. $\frac{h_1}{h_2} = \frac{21 - EF}{EF - 5}$.

Подставим второе уравнение в первое. Из второго уравнения выражаем $h_1$ через $h_2$: