Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, разбивает ее на 2 трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная;
б) Известно, что радиус этих окружностей=3, а меньшее основание BC исходной трпаеции равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN и вписанной в нее окружности.

Рассмотрим задачу поэтапно.

Часть (а). Докажем, что трапеция $ABCD$ равнобедренная

1. Пусть $ABCD$ — трапеция, где $BC$ и $AD$ — её основания, и $M$ и $N$ — середины оснований $BC$ и $AD$ соответственно.

2. Соединяем точки $M$ и $N$, получая отрезок $MN$, который делит трапецию $ABCD$ на две меньшие трапеции: $ABMN$ и $MCDN$.

3. По условию, в каждую из трапеций $ABMN$ и $MCDN$ можно вписать окружность. Это возможно только в случае, если суммы длин противоположных сторон каждой трапеции равны, т.е., для $ABMN$:

   $$AB + MN = AN + BM,$$

   а для $MCDN$:

   $$MN + CD = MC + DN.$$

4. Заметим, что точки $M$ и $N$ — середины оснований, следовательно, $BM = MC$ и $AN = DN$. Так как окружность можно вписать в обе трапеции, значит:

   $$AB + MN = AN + BM = MN + CD.$$

5. Это условие выполняется, только если $AB = CD$. Поэтому трапеция $ABCD$ является равнобедренной.

Часть (б). Найдём радиус окружности, касающейся боковой стороны $AB$, основания $AN$ и вписанной в неё окружности

1. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в трапеции $ABMN$ и $MCDN$, равны $r = 3$, и что меньшее основание $BC$ исходной трапеции $ABCD$ равно 8.
2. Поскольку $M$ и $N$ — середины $BC$ и $AD$ соответственно, отрезок $MN$ является средней линией трапеции $ABCD$. Поэтому длина $MN$ равна полусумме оснований: $$MN = \frac{BC + AD}{2}.$$
3. Поскольку в обеих трапециях $ABMN$ и $MCDN$ можно вписать окружности, а их радиусы равны, это указывает на равенство высот этих трапеций и следовательно равенство оснований $AB$ и $CD$.
4. В силу того, что исходная трапеция равнобедренная, высоты $h$ двух маленьких трапеций равны и совпадают с расстоянием между основаниями трапеции $ABCD$.
5. Теперь нужно найти радиус окружности, касающейся $AB$, $AN$ и вписанной окружности. Это окружность вписывается в равнобедренный треугольник $ABN$, где $AN$ и $AB$ образуют боковые стороны треугольника.
6. Поскольку радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 3, это значение высоты также является апофемой для вписанной окружности в треугольник.

Ответ: радиус окружности, касающейся $AB$, $AN$, и вписанной в неё окружности равен 3.