Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1. Основание призмы — ромб со стороной 8 и острым углом 45 градусов.

Ответы на вопрос

Отвечает Юнаев Никита.

Рассмотрим прямую призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ .

Нужно найти угол между плоскостями $AC_1B$ и $ABD$ .

Сразу заметим, что плоскость $ABD$ — это плоскость основания призмы, потому что точки $A$ , $B$ , $D$ лежат в основании $ABCD$ .

Значит, задача сводится к нахождению угла между плоскостью $AC_1B$ и плоскостью основания.

1. Выберем удобную систему координат

Пусть основание призмы лежит в плоскости $z=0$ .

Возьмем:

A=(0,0,0), \quad B=(8,0,0).

Так как $ABCD$ — ромб со стороной 8 и острым углом $45^\circ$ , то вектор

\overrightarrow{AD}=(8\cos45^\circ,\;8\sin45^\circ,\;0)=(4\sqrt2,\;4\sqrt2,\;0).

Тогда

D=(4\sqrt2,\;4\sqrt2,\;0),

C=B+\overrightarrow{AD}=(8+4\sqrt2,\;4\sqrt2,\;0).

Высота призмы равна 6, значит

C_1=(8+4\sqrt2,\;4\sqrt2,\;6).

Плоскость $ABD$ — это плоскость $z=0$ , поэтому ее нормальный вектор:

\vec n_1=(0,0,1).

В этой плоскости лежат векторы

\overrightarrow{AB}=(8,0,0),

\overrightarrow{AC_1}=(8+4\sqrt2,\;4\sqrt2,\;6).

Тогда нормальный вектор к плоскости $AC_1B$ :

\vec n_2=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC_1}.

Вычислим векторное произведение:

\vec n_2= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ 8 & 0 & 0\\ 8+4\sqrt2 & 4\sqrt2 & 6 \end{vmatrix}.