Дана прямая призма ABCDA1B1C1D1, в основании которой лежит квадрат со стороной 2
Боковое ребро призмы равно √(6)/3

Найдите градусную меру угла между плоскостью треугольника AB1C и плоскостью основания призмы.

Чтобы найти угол между плоскостью треугольника $AB_1C$ и плоскостью основания прямой призмы, давайте подробно разберем задачу поэтапно.

Дано:

• Призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это прямая призма, основание которой квадрат со стороной 2.
• Боковое ребро призмы $AA_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
• Нужно найти угол между плоскостью треугольника $AB_1C$ и плоскостью основания призмы.

Шаг 1: Координаты вершин призмы

Обозначим координаты вершин прямой призмы в трёхмерной системе координат $Oxyz$.

1. Вершины квадрата в основании:

   • $A(0, 0, 0)$,
   • $B(2, 0, 0)$,
   • $C(2, 2, 0)$,
   • $D(0, 2, 0)$.

2. Вершины, расположенные на верхней грани призмы, находятся на той же горизонтальной плоскости, но с координатой по оси $z$ равной $\frac{\sqrt{6}}{3}$, то есть:

   • $A_1(0, 0, \frac{\sqrt{6}}{3})$,
   • $B_1(2, 0, \frac{\sqrt{6}}{3})$,
   • $C_1(2, 2, \frac{\sqrt{6}}{3})$,
   • $D_1(0, 2, \frac{\sqrt{6}}{3})$.

Шаг 2: Векторы, определяющие плоскости

1. Плоскость основания призмы — это плоскость $z = 0$, на которой лежат вершины $A$, $B$, $C$, $D$. Направляющий вектор этой плоскости будет $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$, так как ось $z$ нормальна к основанию.

2. Плоскость треугольника $AB_1C$ задаётся тремя точками: $A(0, 0, 0)$, $B_1(2, 0, \frac{\sqrt{6}}{3})$, и $C(2, 2, 0)$.

Для нахождения нормального вектора плоскости треугольника $AB_1C$ воспользуемся векторным произведением двух векторов, образованных этими точками.

• Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (2, 0, \frac{\sqrt{6}}{3})$,
• Вектор $\vec{AC} = C - A = (2, 2, 0)$.

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AC}$: