1) Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 18 см, пересечена плоскостью, параллельной основанию пирамиды и проходящей через середину бокового ребра. Найдите высоту и апофему полученной усеченной пирамиды. 2) Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны основания которой равны 3 и 11, а боковое ребро 5.

Разберём задачу по пунктам. Постараюсь объяснить шаг за шагом, чтобы было понятно.

Задача 1

Дано: правильная четырёхугольная пирамида (основание квадрат) с равными ребрами $18$ см. Плоскость проходит через середину бокового ребра и параллельна основанию. Нужно найти высоту и апофему усечённой пирамиды.

Решение:

1. Определяем высоту исходной пирамиды.
   Пусть $a$ — сторона квадрата основания, а $l = 18$ — боковое ребро.
   Если пирамида правильная, её вершина находится над центром квадрата. Высота $H$ определяется как:

Почему $\frac{a\sqrt{2}}{2}$? Потому что расстояние от центра квадрата до вершины квадрата по диагонали равно половине диагонали: $\frac{\sqrt{2}a}{2}$.

Боковые ребра равны 18. В правильной четырёхугольной пирамиде все ребра равны, значит:

Подумайте: если все ребра равны, то боковое ребро и сторона основания равны? Нет, сторона основания будет меньше, так как образуется квадрат с вершиной выше центра.

Обозначим сторону основания $a$. Тогда диагональ основания: $d = a\sqrt{2}$.

Тогда расстояние от центра до вершины основания: $r = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Боковое ребро: $l^2 = H^2 + r^2 \Rightarrow 18^2 = H^2 + (a\sqrt{2}/2)^2 = H^2 + a^2/2$.

Если все ребра равны $18$, то сторона основания $a$ тоже $18$. Проверим:

✅ Верно.

2. Определяем масштаб усечения.
   Плоскость проходит через середину бокового ребра. Значит, высота от основания до плоскости — половина высоты бокового ребра.

Боковое ребро — гипотенуза прямоугольного треугольника с высотой $H$ и горизонтальной проекцией $r = a/ \sqrt{2}$.

Проекция плоскости на высоту:

Но точнее: по свойствам подобных треугольников, если плоскость проходит через середину бокового ребра, линейные размеры сечения уменьшаются в 1/2.

3. Найдём высоту усечённой пирамиды.
   Высота усечённой пирамиды $H_\text{усеч} = H - h_\text{верхнего сечения}$

4. Найдём апофему усечённой пирамиды.
   Апофема — это высота боковой грани. Для правильной пирамиды боковая грань — равнобедренный треугольник. Для усечённой пирамиды апофема определяется через разницу половин основания и сечения: