1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите обьем пирамиды. 2.В конус вписана пирамида. Основанием служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды,проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите обьем конуса. Решение:.... Спасибо Заранее! =]

Для решения этих задач необходимо использовать базовые геометрические формулы и методы. Рассмотрим каждую задачу по отдельности.

Задача 1:

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите объем пирамиды.

1. Шаг 1. Определим высоту пирамиды. В правильной треугольной пирамиде все боковые ребра равны. Мы знаем, что боковое ребро пирамиды равно 6 см и оно составляет угол 60° с плоскостью основания. Чтобы найти высоту пирамиды, нужно использовать тригонометрию.

   Высота пирамиды $h$ будет связана с боковым ребром $l$ и углом $\alpha$ через формулу:

   $$h = l \cdot \sin(\alpha)$$

   где $l = 6$ см, а $\alpha = 60^\circ$.

   $$h = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.2 \, \text{см}.$$

2. Шаг 2. Определим площадь основания. Основание правильной треугольной пирамиды — это правильный треугольник. Для вычисления площади основания сначала найдем длину стороны основания.

   Для этого используем теорему Пифагора в треугольнике, который образуют высота пирамиды, половина стороны основания и боковое ребро пирамиды. Обозначим половину стороны основания через $a/2$, тогда:

   $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = l^2$$

   Подставим значения:

   $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 6^2$$ $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 27 = 36$$ $$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 9$$ $$\frac{a}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 6 \, \text{см}.$$

3. Шаг 3. Вычислим объем пирамиды. Объем правильной треугольной пирамиды вычисляется по формуле:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h$$

   где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \approx 15.59 \, \text{см}^2.$$

   Теперь вычислим объем:

   $$V = \frac{1}{3} \cdot 15.59 \cdot 5.2 \approx 27.06 \, \text{см}^3.$$

Ответ: объем пирамиды примерно равен 27.06 см³.

Задача 2:

В конус вписана пирамида. Основанием служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.

1. Шаг 1. Вычислим радиус основания конуса. В задаче говорится, что основание пирамиды — прямоугольный треугольник. Сначала найдем длину гипотенузы этого треугольника. Поскольку один катет равен $2a$, а угол между катетами равен 30°, то второй катет можно вычислить по формуле:

   $$\text{Второй катет} = 2a \cdot \tan(30^\circ) = 2a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}.$$

   Теперь вычислим гипотенузу треугольника:

   $$\text{Гипотенуза} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{12a^2}{3} + \frac{4a^2}{3}} = \sqrt{\frac{16a^2}{3}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}.$$