В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Высота и радиус конуса соответственно равны 15 см и 8 см. Найдите: 1) боковое ребро пирамиды; 2) сторону основания пирамиды; 3) апофему пирамиды; 4) площадь основания пирамиды; 5) площадь боковой поверхности пирамиды.

Рассуждение такое.

Конус: $h=15$ см, $R=8$ см. Генератриса конуса

Правильная четырёхугольная пирамида «вписана» так, что её вершина совпадает с вершиной конуса, а вершины квадрата лежат на окружности основания конуса.

1. Боковое ребро пирамиды. Это и есть генератриса конуса (ребро идёт от вершины к точке окружности основания):

2. Сторона основания пирамиды. Квадрат вписан в окружность радиуса $R=8$, его диагональ равна диаметру $2R=16$. Значит,

3. Апофема пирамиды (высота боковой грани от вершины к середине стороны). Проекция вершины — центр основания; расстояние от центра до середины стороны равно $a/2=4\sqrt2$. Тогда

4. Площадь основания:

5. Площадь боковой поверхности (четыре равных треугольника):

Ответ:

1. $17$ см; 2) $8\sqrt2$ см; 3) $\sqrt{257}$ см; 4) $128\ \text{см}^2$; 5) $16\sqrt{514}\ \text{см}^2$ ($\approx 362{,}7\ \text{см}^2$).