В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC=25 см, AC=14 см. Вычислите радиус круга, касающегося BC в точке D - основании высоты AD и проходящего через середину AC.

Решу в координатах: сначала найду положение основания высоты $D$, затем использую условие касания окружности к $BC$ в $D$ и прохождения через середину $AC$.

Дано:

Пусть $D$ — основание высоты $AD$, то есть $AD\perp BC$. Окружность касается $BC$ в точке $D$, значит её центр лежит на прямой $AD$.

Обозначим середину $AC$ через $M$. Нужно найти радиус окружности, проходящей через $M$ и касающейся $BC$ в $D$.

Сначала найдём $AD$. В треугольнике $ABC$ по теореме косинусов или через проекцию:

Подставим значения:

Тогда

Теперь из прямоугольного треугольника $ACD$:

Теперь пусть радиус окружности равен $r$. Центр окружности лежит на высоте $AD$, на расстоянии $r$ от $D$, потому что окружность касается $BC$ в точке $D$.

Точка $M$ — середина $AC$, поэтому в прямоугольном треугольнике $ACD$ её координаты относительно $D$ можно понимать так:

Центр окружности имеет координаты:

Так как $M$ лежит на окружности, то

Значит,

Раскроем:

Сокращаем $r^2$: