Часть 1 1. Сколько прямых можно провести через точки А и В? 2. Один из смежных углов на 48° больше другого. Найдите меньший угол. 3. Углы треугольника АВС относятся как 5:3:1. Найдите самый большой угол этого треугольника. 4. В равнобедренном треугольнике угол, заключенный между боковыми сторонами, равен 60°. Найдите угол при основании. Ответ дайте в градусах. 5. Выберите верное утверждение. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то 1) накрест лежащие углы в сумме дают 180°; 2) соответственные углы равны; 3) смежные углы равны; 4) односторонние углы равны. Часть 2 6. В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах. 7. В треугольнике ABC угол A равен 40°, внешний угол при вершине B равен 102°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. Часть 3 8. Докажите, что если два отрезка пересекаются в середине, то отрезки, соединяющие концы данных отрезков, параллельны.

Часть 1:

1. Через две точки можно провести только одну прямую. Это основное правило геометрии, так как через любые две различные точки проходит единственная прямая.

2. Если один из смежных углов на 48° больше другого, то обозначим меньший угол как $x$. Тогда больший угол будет равен $x + 48°$. Так как углы смежные, их сумма должна быть 180° (сумма смежных углов равна 180°). Составим уравнение:

Меньший угол равен 66°.

3. Пусть углы треугольника ABC относятся как 5:3:1. Обозначим углы через $5x$, $3x$ и $x$. Сумма углов треугольника всегда равна 180°, следовательно:

Таким образом, углы треугольника будут равны:

• 5x = $5 \times 20° = 100°$

• 3x = $3 \times 20° = 60°$

• x = 20°

Самый большой угол – 100°.

4. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами равен 60°. Пусть угол при основании треугольника равен $x$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому их два. Сумма всех углов треугольника равна 180°, следовательно:

Таким образом, угол при основании равен 60°.

5. Верное утверждение: "Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны". Это одно из основных свойств параллельных прямых и секущей.

Часть 2:

6. В треугольнике ABC AD — биссектриса. Угол C равен 30°, угол BAD равен 22°. Нам нужно найти угол ADB. Угол ADB можно найти с использованием теоремы о биссектрисе. Угол, образованный биссектрисой, делит угол на два равных угла. Поскольку угол BAD равен 22°, то угол BDA также равен 22°.

Теперь, угол при вершине D, который является суммой углов BDA и ADB, должен равняться углу C, то есть 30°. Следовательно, угол ADB можно найти, вычитая угол BDA из угла C:

Ответ: угол ADB равен 8°.

7. В треугольнике ABC угол A равен 40°, внешний угол при вершине B равен 102°. Нам нужно найти угол C. Внешний угол при вершине B равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть:

Ответ: угол C равен 62°.

Часть 3:

8. Докажем, что если два отрезка пересекаются в середине, то отрезки, соединяющие концы данных отрезков, параллельны.

Пусть отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке O, и точки O являются их серединами. Это означает, что $OA = OB$ и $OC = OD$. Рассмотрим отрезки $AC$ и $BD$, которые соединяют концы отрезков $AB$ и $CD$. Мы будем использовать теорему о параллельности в случае, когда отрезки пересекаются в серединах.

Поскольку точка O — середина отрезков $AB$ и $CD$, то отрезки $AC$ и $BD$ делят друг друга пополам. Это условие является достаточным для того, чтобы заключить, что отрезки $AC$ и $BD$ параллельны.