В основе цилиндра проведена хорда, которая видна из центра нижнего основания под углом 90 градусов,

Ответы на вопрос

Отвечает Сисягина Дарья.

Пусть нижнее основание цилиндра имеет центр $O$ , верхнее основание — центр $O_1$ . Радиус основания:

R = 4 \text{ см}

В нижнем основании проведена хорда $AB$ .

Из центра нижнего основания хорда видна под углом $90^\circ$ , то есть центральный угол:

\angle AOB = 90^\circ

Длина хорды через радиус и центральный угол находится так:

AB = 2R \sin \frac{\angle AOB}{2}

Подставим данные:

AB = 2 \cdot 4 \cdot \sin 45^\circ

AB = 8 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 4\sqrt2

Теперь рассмотрим эту же хорду из центра верхнего основания $O_1$ . По условию:

\angle AO_1B = 60^\circ

Точки $A$ и $B$ лежат на окружности нижнего основания, поэтому расстояния от $O_1$ до них равны:

O_1A = O_1B

Значит, треугольник $AO_1B$ равнобедренный. Его вершина при $O_1$ равна $60^\circ$ . В равнобедренном треугольнике, если угол между равными сторонами равен $60^\circ$ , то треугольник получается равносторонним.

Следовательно:

O_1A = AB = 4\sqrt2

Теперь выразим $O_1A$ через радиус основания и высоту цилиндра $h$ . Точка $O_1$ находится над центром $O$ , поэтому треугольник $OO_1A$ прямоугольный:

O_1A^2 = OA^2 + OO_1^2

(4\sqrt2)^2 = 4^2 + h^2

32 = 16 + h^2

h^2 = 16

h = 4

Высота цилиндра равна $4$ см.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

S_{\text{бок}} = 2\pi Rh

Подставляем:

S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 4 \cdot 4

S_{\text{бок}} = 32\pi

Ответ:

\boxed{32\pi \text{ см}^2}

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Геометрия

Последние заданные вопросы в категории Геометрия