В правильную четырёхугольную призму вписан шар, радиус которого равен 4 см. Найти объём призмы.

Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Дано:

• Призма — правильная четырёхугольная, значит её основание — квадрат.

• В призму вписан шар с радиусом $R = 4$ см.

• Нужно найти объём призмы $V$.

Шаг 1: Связь радиуса вписанного шара с размерами призмы

Для правильной четырёхугольной призмы вписанный шар касается всех граней призмы:

• Он касается верхней и нижней граней, то есть его диаметр равен высоте призмы.

  $$h = 2R = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$

• Он также касается боковых граней (стенок квадрата). В основании призмы вписанный шар — это вписанный в квадрат круг, поэтому радиус шара равен половине стороны квадрата:

  $$a = 2R = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$

  где $a$ — длина стороны квадрата основания.

Шаг 2: Формула объёма призмы

Объём прямой призмы вычисляется как:

где $S_{\text{основания}}$ — площадь квадрата:

Высота $h = 8$ см, значит:

✅ Ответ

Объём правильной четырёхугольной призмы, в которую вписан шар радиусом 4 см, равен 512 см³.