В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Найдите площадь его поверхности, если сторона основания призмы равна \(3\sqrt{3}\), а высота — 4.

Раз в правильную треугольную призму «вписан» цилиндр, его ось параллельна высоте призмы, высота цилиндра равна высоте призмы, а его основание — окружность, вписанная в правильный треугольник-основание призмы.

1. Сторона основания призмы: $a=3\sqrt{3}$.
   Радиус вписанной окружности в правильный треугольник:

   $$r=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$$

2. Высота цилиндра $h=4$.

3. Полная поверхность цилиндра:

   $$S=2\pi r h+2\pi r^2.$$

   Подставляем $r=\tfrac{3}{2}$, $h=4$:

   $$S=2\pi\cdot\frac{3}{2}\cdot 4+2\pi\left(\frac{3}{2}\right)^2 =12\pi+\frac{9}{2}\pi=\frac{33}{2}\pi.$$

Ответ: $\displaystyle \frac{33\pi}{2}$.