В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое боьше стороны основания. а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит апофему грани ASB в отношении 1 : 2, считая от вершины S. б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SD и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Давайте разберём задачу подробно, шаг за шагом, используя координатный подход, чтобы было максимально наглядно.

Дано

• Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с основанием правильный шестиугольник $ABCDEF$.

• Боковое ребро $SA = SB = \dots = SF$ вдвое длиннее стороны основания $AB = BC = \dots = FA$.

• Нам нужно:

1. Доказать, что плоскость через середины $SA$ и $SD$ и точку $C$ делит апофему грани $ASB$ в отношении 1:2 от вершины $S$.

2. Найти, в каком отношении та же плоскость делит ребро $SF$ от вершины $S$.

Шаг 1. Координаты

Для удобства поместим основание в плоскость $Oxy$ с центром в начале координат $O$.

• Радиус окружности, описанной вокруг шестиугольника: пусть сторона $a$. Тогда расстояние от центра до вершин $R = a$.

• Расположение вершин шестиугольника (по часовой стрелке, начиная с $A$):

• Боковое ребро $SA = 2a$. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ находится на оси $Oz$, так что $S = (0, 0, h)$.

• Длина $SA = 2a$:

Итак:

Шаг 2. Найдём координаты точек плоскости

• Середины рёбер: