В прямоугольнике диагональ делит угол в отношении 2:7. найдите угол между диагоналеми ​

В этой задаче речь идет о прямоугольнике, диагональ которого делит угол в отношении $2:7$. Необходимо найти угол между диагоналями.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. Так как фигура — прямоугольник, его диагонали равны и пересекаются под одним и тем же углом, поэтому мы можем обозначить угол между диагоналями как $\alpha$.

Шаг 1: Определим угол при вершине прямоугольника

Пусть диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ в отношении $2:7$. Обозначим весь угол $\angle DAB$ как $\theta$.

Тогда согласно условию, диагональ делит угол $\theta$ на две части: одна составляет $2$ единицы, а другая — $7$ единиц. То есть:

где $x$ — одна единица деления.

Шаг 2: Выражение для углов

Теперь выразим углы: меньший угол равен $2x$, а больший — $7x$.

Так как угол $\angle DAB$ в прямоугольнике равен $90^\circ$, можем записать:

Следовательно,

Шаг 3: Найдем меньший и больший углы

Теперь подставим значение $x$:

• Меньший угол: $2x = 2 \times 10^\circ = 20^\circ$
• Больший угол: $7x = 7 \times 10^\circ = 70^\circ$

Таким образом, диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ на углы $20^\circ$ и $70^\circ$.

Шаг 4: Определение угла между диагоналями

Поскольку диагонали прямоугольника пересекаются под одинаковыми углами, угол между диагоналями $\alpha$ можно найти через сумму острых углов, образованных диагоналями в точке пересечения.

Из свойств диагоналей прямоугольника известно, что угол между диагоналями равен удвоенному значению меньшего угла, на который делится угол при вершине:

Ответ

Угол между диагоналями в данном прямоугольнике равен $40^\circ$.