1. Биссектриса угла C прямоугольника АВСD пересекает сторону AD в точке N, причём AN = ND = 11 см. Найдите периметр прямоугольника. Ответ дайте в сантиметрах. 2. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 6 см, а от большей на 4 см. Найдите периметр прямоугольника. Ответ дайте в сантиметрах.

3. В ромбе больший угол равен 120°, меньшая диагональ равна стороне и равна 9 см. Найдите периметр ромба. Ответ дайте в сантиметрах.

Задача 1

Условие: Биссектриса угла $C$ прямоугольника $ABCD$ пересекает сторону $AD$ в точке $N$, причём $AN = ND = 11$ см. Найдите периметр прямоугольника.

Решение: Поскольку $N$ делит отрезок $AD$ пополам, это означает, что $AN = ND = 11$ см, следовательно, $AD = AN + ND = 22$ см.

Теперь разберёмся с биссектрисой. Угол $C$ — это угол при вершине прямоугольника, равный $90^\circ$. Биссектриса этого угла делит его пополам на два угла по $45^\circ$. Это означает, что биссектриса делит противоположные стороны прямоугольника в соотношении, равном отношению длин этих сторон, то есть:

Поскольку $AD = 22$ см, то и $AB = 22$ см.

Теперь найдём периметр прямоугольника:

Ответ: $88$ см.

Задача 2

Условие: В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 6 см, а от большей на 4 см. Найдите периметр прямоугольника.

Решение: Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам. Пусть $a$ — длина большей стороны, а $b$ — длина меньшей стороны. Тогда точка пересечения диагоналей делит каждую сторону пополам, и расстояния от этой точки до сторон равны половинам их длин:

Теперь найдём периметр прямоугольника:

Ответ: $40$ см.

Задача 3

Условие: В ромбе больший угол равен $120^\circ$, меньшая диагональ равна стороне и равна $9$ см. Найдите периметр ромба.

Решение: Пусть $ABCD$ — ромб с углом $A = 120^\circ$. Обозначим сторону ромба как $a$, а длину меньшей диагонали $BD$ как $d_1$. По условию, $d_1 = a = 9$ см.

Поскольку $BD$ — меньшая диагональ и равна стороне ромба, найдём вторую диагональ $AC$. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. Разобьём ромб на два треугольника $ABD$ и $ACD$, в которых углы при вершине $A$ равны $60^\circ$ (половина от $120^\circ$) и $30^\circ$.

Используем тригонометрические свойства для нахождения диагонали $AC$. В треугольнике $ABD$ угол при вершине $A$ равен $60^\circ$, и мы знаем гипотенузу $AB = 9$ см. Тогда, используя свойство треугольника $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$:

Отсюда $AC = 9\sqrt{3}$.

Однако, для нахождения периметра ромба нам достаточно длины его стороны:

Ответ: $36$ см.