В прямоугольнике диагональ равна 10,а угол между ней и одной стороной из сторон равен 60°,длина этой стороны равна 5.Найдите площадь.

Для решения задачи используем тригонометрию и свойства прямоугольника.

Дано:

• Диагональ прямоугольника $d = 10$.
• Угол между диагональю и одной из сторон прямоугольника $\alpha = 60^\circ$.
• Длина этой стороны (обозначим её как $a$) равна $a = 5$.

Найти: Площадь прямоугольника $S$.

Решение:

1. Найдём вторую сторону прямоугольника $b$:

   • Поскольку диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых диагональ является гипотенузой, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, где:
     • Гипотенуза $d = 10$,
     • Один из катетов $a = 5$,
     • Угол между гипотенузой и катетом $\alpha = 60^\circ$.

2. Используем тригонометрические функции для нахождения второго катета $b$:

   • В прямоугольном треугольнике известно, что: $$\cos \alpha = \frac{a}{d}$$
   • Подставим значения: $$\cos 60^\circ = \frac{5}{10} = 0.5$$
   • Угол $60^\circ$ подтверждает, что значение корректно.

3. Находим значение второго катета с помощью синуса:

   • Так как $\sin \alpha = \frac{b}{d}$, то $b = d \cdot \sin 60^\circ$.
   • Подставляем значения: $$b = 10 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

4. Вычисляем площадь прямоугольника:

   • Площадь $S$ прямоугольника находится по формуле $S = a \cdot b$.
   • Подставим значения: $$S = 5 \cdot 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$$

Ответ: Площадь прямоугольника $S = 25\sqrt{3}$ квадратных единиц.