В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 основанием служит ромб со стороной a и углом BAD, равным 45°. Прямая A1D наклонена к плоскости грани AA1B1B под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Обозначим высоту параллелепипеда через \(h=AA_1\). Основание — ромб со стороной \(a\) и углом \(45^\circ\).

Плоскость грани \(AA_1B_1B\) проходит через сторону \(AB\). Расстояние от точки \(D\) до этой плоскости равно перпендикулярной составляющей \(AD\):

\[ d=a\sin45^\circ=\frac{a\sqrt2}{2}. \]

Длина \(A_1D\):

\[ A_1D=\sqrt{a^2+h^2}. \]

Угол между прямой \(A_1D\) и плоскостью равен \(30^\circ\), поэтому:

\[ \sin30^\circ=\frac{d}{A_1D}. \]

Подставим:

\[ \frac12=\frac{\frac{a\sqrt2}{2}}{\sqrt{a^2+h^2}}. \]

Отсюда:

\[ \sqrt{a^2+h^2}=a\sqrt2,\quad h=a. \]

Площадь основания ромба:

\[ S_{\text{осн}}=a^2\sin45^\circ=\frac{a^2\sqrt2}{2}. \]

Боковая поверхность прямого параллелепипеда:

\[ S_{\text{бок}}=4a\cdot a=4a^2. \]

Полная поверхность:

\[ S_{\text{полн}}=2S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=a^2\sqrt2+4a^2=a^2(4+\sqrt2). \]

Ответ: \(a^2(4+\sqrt2)\).

0 0 Пожаловаться