Подобие треугольников (внутри картинка)

Ответы на вопрос

Отвечает Кузьмичёв Никита.

Подобие треугольников — это когда у двух треугольников одинаковая форма, но размеры могут быть разными. То есть у них равны соответствующие углы, а стороны пропорциональны.

Главная идея:
если треугольники подобны, то можно составить отношение соответствующих сторон, и эти отношения будут одинаковыми.

Например, если

\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1

то:

\angle A = \angle A_1,\quad \angle B = \angle B_1,\quad \angle C = \angle C_1

\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}

Признаки подобия треугольников

Есть три основных признака:

1. По двум углам

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Это самый удобный признак. Ведь третий угол тогда тоже автоматически равен, потому что сумма углов треугольника всегда $180^\circ$ .

2. По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

3. По трём сторонам

Если все три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.

Как решать задачи на подобие

Обычно делают так:

Сначала находят равные углы или пропорциональные стороны.
Дальше записывают, какие треугольники похожи.
Потом составляют отношение соответствующих сторон.
Находят неизвестную сторону или угол.

Пример

Пусть один треугольник имеет стороны $3$ , $4$ , $5$ , а другой — $6$ , $8$ , $10$ .
Проверяем:

\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}

Значит, треугольники подобны.

Что важно помнить

У подобных треугольников равны углы.
Соответствующие стороны относятся как одно и то же число.
Если дан только один равный угол, этого недостаточно.
Чтобы доказать подобие, нужно опираться на один из признаков.

Если в задаче есть картинка, то обычно нужно:

найти равные углы,
понять, какие стороны соответствуют друг другу,
записать отношение сторон и решить уравнение.

Итог: подобие треугольников — это связь между треугольниками с одинаковой формой. Оно позволяет находить неизвестные стороны и доказывать равенство углов с помощью пропорций.