Что такое средняя линия треугольника? Какие её свойства вы знаете?

Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Например, в треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $AC$. Тогда отрезок $MN$ называется средней линией треугольника.

У каждого треугольника можно провести три средние линии: каждая из них соединяет середины двух сторон.

Основные свойства средней линии

1. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника.

   Если $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$, то:

   $$MN \parallel BC.$$

2. Длина средней линии равна половине длины третьей стороны.

   $$MN = \frac{BC}{2}.$$

   Например, если сторона $BC = 12$ см, то средняя линия, параллельная ей, равна $6$ см.

3. Треугольник, отсечённый средней линией, подобен исходному треугольнику.

   В приведённом примере треугольник $AMN$ подобен треугольнику $ABC$, причём коэффициент подобия равен $\frac12$. Все его стороны в два раза меньше соответствующих сторон большого треугольника.

4. Площадь малого треугольника составляет четверть площади исходного.

   Так как стороны треугольника $AMN$ в два раза меньше сторон $ABC$, его площадь уменьшается в $2^2=4$ раза:

   $$S_{AMN}=\frac14 S_{ABC}.$$

5. Три средние линии образуют внутри треугольника четыре равных по площади треугольника.

   Каждый из этих маленьких треугольников имеет площадь, равную четверти площади исходного треугольника.

6. Четырёхугольник между средней линией и третьей стороной является трапецией.

   Например, если $MN\parallel BC$, то четырёхугольник $BMNC$ — трапеция, поскольку у него есть параллельные стороны $MN$ и $BC$.

Обратное свойство

Если через середину одной стороны треугольника провести прямую, параллельную другой стороне, то эта прямая пересечёт третью сторону в её середине. Следовательно, полученный отрезок будет средней линией треугольника.

Среднюю линию не следует путать с медианой. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны, а средняя линия соединяет середины двух сторон.