Вариант 1. №1. Запишите номера верных утверждений: 1)RH-высота треугольника СRS, 2)ТМ-биссектриса треугольника NFT, 3)AD-биссектриса треугольника AFN, 4)ТМ-медиана треугольника NFT, 5) RH-медиана треугольника СRS. №2. Запишите ответ к заданию. Найти угол DHA -? Записать обоснованное решение к заданиям 3-5. №3. Дано: FA=4,2 см, AD=3,8 см, DF= 3,9 см. Найти: P . №4. Боковая сторона равнобедренного треугольника на 2 см короче основания. Периметр треугольника равен 20 см. Найти основание равнобедренного треугольника. №5. Треугольника АМК и А 1М 1К 1 –равнобедренные с основаниями АМ и А 1М 1 . Известно, что АМ= А 1М 1, МК = М 1К 1. Докажите, что медианы АК и А 1К 1 равны.

Без рисунка к заданиям №1 и №2 точно определить ответ нельзя, потому что там нужно видеть, какие точки лежат на сторонах треугольников, где проведены равные отрезки, прямые углы и отметки углов. Поэтому по №1 и №2 можно дать только правило решения, а численный ответ зависит от чертежа.

№1

Нужно выбрать верные утверждения:

1. RH — высота треугольника CRS
   Это верно, если точка H лежит на стороне CS или её продолжении, а отрезок RH перпендикулярен этой стороне.

2. TM — биссектриса треугольника NFT
   Это верно, если отрезок TM выходит из вершины T и делит угол NTF на два равных угла.

3. AD — биссектриса треугольника AFN
   Это верно, если отрезок AD выходит из вершины A и делит угол FAN на два равных угла.

4. TM — медиана треугольника NFT
   Это верно, если точка M является серединой стороны NF, то есть NM = MF.

5. RH — медиана треугольника CRS
   Это верно, если точка H является серединой стороны CS, то есть CH = HS.

Ответ в №1 зависит от отметок на рисунке. Без рисунка нельзя записать номера верных утверждений.

№2

Найти угол DHA тоже невозможно без рисунка или дополнительных данных.

Чтобы найти угол DHA, нужно знать, как расположены точки D, H, A, какие углы даны, есть ли перпендикулярность, параллельность, равенство треугольников или биссектрисы. Если, например, на рисунке видно, что DH ⟂ AH, тогда угол DHA = 90°. Но без чертежа это только предположение.

№3

Дано:

FA = 4,2 см,
AD = 3,8 см,
DF = 3,9 см.

Найти периметр треугольника FAD.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

P = FA + AD + DF

Подставим данные:

P = 4,2 + 3,8 + 3,9

Сначала сложим:

4,2 + 3,8 = 8

Теперь:

8 + 3,9 = 11,9

Ответ:

P = 11,9 см.

№4

Боковая сторона равнобедренного треугольника на 2 см короче основания.
Периметр равен 20 см.

Пусть основание треугольника равно x см.

Тогда каждая боковая сторона на 2 см меньше основания, значит равна:

x − 2 см

Так как треугольник равнобедренный, боковые стороны равны. Периметр равен сумме трёх сторон:

x + (x − 2) + (x − 2) = 20

Раскроем скобки:

x + x − 2 + x − 2 = 20

Сложим подобные слагаемые:

3x − 4 = 20

Перенесём −4 в правую часть:

3x = 24

Разделим на 3:

x = 8

Значит, основание равно 8 см.

Проверка: боковые стороны по 6 см, потому что 8 − 2 = 6.
Периметр:

8 + 6 + 6 = 20 см

Ответ:

8 см.

№5

Дано: треугольники АМК и А₁М₁К₁ — равнобедренные с основаниями АМ и А₁М₁.

Известно:

АМ = А₁М₁,
МК = М₁К₁.

Нужно доказать, что медианы АК и А₁К₁ равны.

В условии, скорее всего, есть неточность: если треугольник АМК равнобедренный с основанием АМ, то равными являются боковые стороны:

АК = МК

А во втором треугольнике:

А₁К₁ = М₁К₁

Так как по условию:

МК = М₁К₁

то из равенства боковых сторон получаем:

АК = МК,
А₁К₁ = М₁К₁,
МК = М₁К₁.

Значит:

АК = А₁К₁.

То есть отрезки АК и А₁К₁ равны.

Но если в задании действительно требуется доказать равенство именно медиан, то медиана к основанию в равнобедренном треугольнике обычно проводится из вершины K к основанию AM, а не обозначается AK. Поэтому, возможно, в условии опечатка: нужно доказывать равенство боковых сторон AK и A₁K₁, а не медиан.