Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный с прямым углом C и гипотенузой 6 см. Отрезок CM перпендикулярен плоскости треугольника, расстояние от точки M до прямой AB равно 5 см. Найдите длину отрезка CM.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра из точки $C$ на гипотенузу $AB$. Тогда $CH$ — расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.

Треугольник $ABC$ прямоугольный и равнобедренный, причём $AB=6$ см. Его катеты равны:

Высота, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна:

Так как $CM$ перпендикулярен плоскости треугольника, то $CM\perp CH$. Кроме того, отрезок $MH$ перпендикулярен прямой $AB$, поэтому $MH$ — расстояние от точки $M$ до прямой $AB$.

В прямоугольном треугольнике $MCH$:

По условию $MH=5$ см, $CH=3$ см:

Ответ: $4$ см.