В треугольнике MKP MK = 12 см, угол M = 30°, угол P = 90°. Плоскость α проходит через сторону MP и образует с плоскостью MKP угол 60°. Найдите расстояние от точки K до плоскости α. РИСУНОК

Дано:
$MK=12$ см, $\angle M=30^{\circ }$, $\angle P=90^{\circ }$.
Плоскость $\alpha$ проходит через $MP$ и образует с плоскостью треугольника $MKP$ угол $60^{\circ }$.

Рисунок

Сначала треугольник $MKP$:

          K
          |\
          | \
          |  \  MK = 12
          |   \
          |    \
          P-----M
         90°   30°

Плоскости пересекаются по прямой $MP$. Если сделать сечение плоскостью, перпендикулярной $MP$ и проходящей через $P$, получим:

              K
              |\
              | \
              |  \
              |   \
              |    \  KH — расстояние
              |     ⟂
              |      H
              |     /
              | 60°/     α
              P---/----------------

Здесь $PK$ лежит в плоскости треугольника $MKP$, а $PH$ — в плоскости $\alpha$. Поэтому

Нужно найти $KH$.

В прямоугольном треугольнике $MKP$ гипотенуза $MK=12$ см, а угол $M=30^{\circ }$. Катет $KP$ лежит напротив угла $30^{\circ }$, поэтому он равен половине гипотенузы:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $KPH$. В нём

Следовательно,

Ответ: $3\sqrt{3}$ см.