Вариант I

1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырехугольника АВСD и градусные меры дуг АВ, ВС, СD, АD.

2. Основание равнобедренного треугольника равно18 см, а боковая сторона равна15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. решите плиз я на контрольной!

Задача 1: Геометрия окружности и углы четырехугольника

1. Рассмотрим окружность с центром в точке O. Через точку А на окружности проведены диаметр $AC$ и хорды $AB$ и $AD$, равные радиусу окружности.

   • Пусть радиус окружности $r$, тогда $AB = AD = r$ и $AC = 2r$ (так как $AC$ — диаметр).

   Найдем углы четырехугольника $ABCD$:

   1. Угол $\angle ABC$: Поскольку $AB = r$ и $AC = 2r$, треугольник $ABC$ — это прямоугольный треугольник, и угол $\angle ABC$ равен $90^\circ$ (по теореме о прямом угле при диаметре).

   2. Угол $\angle ADC$: Поскольку $AD = AB = r$, треугольник $ABD$ — равнобедренный, и угол $\angle ABD = \angle ADB$. Эти углы также равны $90^\circ$, так как они лежат на диаметре.

   3. Угол $\angle CDA$: Этот угол является углом между двумя хордами $CD$ и $DA$. Мы можем рассматривать его как внешний угол для треугольника $AOD$ с одной стороной, проходящей через точку A и радиус окружности, что дает нам этот угол равным $90^\circ$.

   Градусные меры дуг:

   • Дуга $AB$ составляет 90°, так как угол $\angle ABC = 90^\circ$.
   • Дуга $BC$ равна 90°, так как угол $\angle ABC = 90^\circ$.
   • Дуга $CD$ — это половина окружности, так как угол $\angle ADC = 90^\circ$, и она равна 180°.
   • Дуга $DA$ также равна 90°.

Задача 2: Треугольник и радиусы окружностей

1. У нас есть равнобедренный треугольник с основанием $18$ см и боковыми сторонами $15$ см. Нам нужно найти радиусы вписанной и описанной окружностей.

   Для начала найдем радиус вписанной окружности:

   Вписанная окружность касается всех сторон треугольника, и радиус вписанной окружности можно найти по формуле:

   $$r_{\text{впис}} = \frac{S}{p}$$

   где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — полупериметр.

   Полупериметр $p$ равен:

   $$p = \frac{18 + 15 + 15}{2} = 24 \text{ см}$$

   Площадь треугольника можно найти по формуле для площади через основание и высоту. Высоту $h$ треугольника можно найти из теоремы Пифагора для половины основания:

   $$h = \sqrt{15^2 - \left( \frac{18}{2} \right)^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

   Теперь, площадь $S$ треугольника:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 12 = 108 \text{ см}^2$$

   Тогда радиус вписанной окружности:

   $$r_{\text{впис}} = \frac{108}{24} = 4,5 \text{ см}$$

2. Теперь найдем радиус описанной окружности.

   Радиус описанной окружности $R$ для равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

   $$R = \frac{a}{2 \sin \frac{A}{2}}$$

   где $a$ — основание треугольника (18 см), а $A$ — угол при вершине.

   Чтобы найти угол $A$, используем теорему косинусов для треугольника:

   $$\cos A = \frac{b^2 + b^2 - a^2}{2b^2} = \frac{15^2 + 15^2 - 18^2}{2 \cdot 15^2} = \frac{225 + 225 - 324}{450} = \frac{126}{450} = 0,28$$

   Тогда угол $A$ равен:

   $$A = \cos^{-1}(0,28) \approx 73^\circ$$

   Теперь можем найти радиус описанной окружности:

   $$R = \frac{18}{2 \sin 36^\circ} \approx \frac{18}{2 \cdot 0,588} = \frac{18}{1,176} \approx 15,3 \text{ см}$$