Периметр правильного треугольника,вписанного в окружность,на 3 корня из 3 меньше периметра правильного шестиугольника,описанного около этой окружности.Найдите радиус окружности.

Задача требует нахождения радиуса окружности, в которую вписан правильный треугольник, периметр которого меньше на $3\sqrt{3}$ периметра правильного шестиугольника, описанного около этой же окружности.

1. Обозначения и исходные данные:

   • Пусть радиус окружности — $R$.
   • Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $3a$, где $a$ — длина стороны этого треугольника.
   • Периметр правильного шестиугольника, описанного около окружности, равен $6b$, где $b$ — длина стороны шестиугольника.

2. Выражение периметров:

   • Для правильного треугольника, вписанного в окружность, длина стороны треугольника $a$ связана с радиусом окружности $R$ формулой:
   $$a = R \cdot \sqrt{3}$$

   Это происходит потому, что центр окружности совпадает с центром треугольника, и угол между двумя радиусами, проведёнными к вершинам треугольника, равен $120^\circ$. Применяя тригонометрию, мы получаем эту зависимость.

   Следовательно, периметр треугольника:

   $$P_{\text{треугольник}} = 3a = 3R\sqrt{3}$$
   • Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, длина стороны шестиугольника $b$ равна радиусу окружности:
   $$b = R$$

   Таким образом, периметр шестиугольника:

   $$P_{\text{шестиугольник}} = 6b = 6R$$

3. Условие задачи: Из условия задачи известно, что периметр правильного треугольника меньше периметра правильного шестиугольника на $3\sqrt{3}$. То есть:

   $$P_{\text{треугольник}} = P_{\text{шестиугольник}} - 3\sqrt{3}$$

   Подставим выражения для периметров:

   $$3R\sqrt{3} = 6R - 3\sqrt{3}$$

4. Решение уравнения: Переносим все выражения, содержащие $R$, в одну сторону:

   $$3R\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6R$$

   Вынесем $3\sqrt{3}$ за скобки:

   $$3\sqrt{3}(R + 1) = 6R$$

   Разделим обе части на $3\sqrt{3}$:

   $$R + 1 = \frac{6R}{3\sqrt{3}}$$

   Упростим правую часть:

   $$R + 1 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$$

   Умножим обе стороны на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от дроби:

   $$(R + 1)\sqrt{3} = 2R$$

   Раскроем скобки:

   $$R\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2R$$

   Переносим все выражения с $R$ на одну сторону:

   $$R\sqrt{3} - 2R = -\sqrt{3}$$

   Вынесем $R$ за скобки:

   $$R(\sqrt{3} - 2) = -\sqrt{3}$$

   Разделим обе стороны на $\sqrt{3} - 2$:

   $$R = \frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 2}$$