Найдите углы вписанного четырёхугольника ABCD, если угол ABD = 48°, угол DAC = 36° и угол BDC = 53°.

Ответы на вопрос

Отвечает Калинникова Елизавета.

Рассмотрим вписанный четырёхугольник $A BC D$ . Обозначим дуги окружности:

Так как угол является вписанным, он равен половине дуги, на которую опирается.

∠ A B D = 4 8^{\circ}

Этот угол опирается на дугу $A D$ , не содержащую точку $B$ , то есть на дугу $A D C$ :

z + w = 2 \cdot 4 8^{\circ} = 9 6^{\circ}

∠ D A C = 3 6^{\circ}

Угол $D A C$ опирается на дугу $D C$ :

z = 2 \cdot 3 6^{\circ} = 7 2^{\circ}

Тогда:

w = 9 6^{\circ} - 7 2^{\circ} = 2 4^{\circ}

∠ B D C = 5 3^{\circ}

Он опирается на дугу $BC$ :

y = 2 \cdot 5 3^{\circ} = 10 6^{\circ}

Теперь найдём оставшуюся дугу $A B$ . Сумма всех дуг окружности равна $36 0^{\circ}$ :

x + y + z + w = 36 0^{\circ}

Подставляем:

x + 10 6^{\circ} + 7 2^{\circ} + 2 4^{\circ} = 36 0^{\circ}

x = 36 0^{\circ} - 20 2^{\circ} = 15 8^{\circ}

Теперь находим углы четырёхугольника.

Угол $A$ :

Он опирается на дугу $BC D$ :

∠ A = \frac{y + z}{2} = \frac{10 6 ^{\circ} + 7 2 ^{\circ}}{2} = 8 9^{\circ}

Угол $B$ :

Он опирается на дугу $A D C$ :

∠ B = \frac{z + w}{2} = \frac{7 2 ^{\circ} + 2 4 ^{\circ}}{2} = 4 8^{\circ}

Угол $C$ :

Он опирается на дугу $D A B$ :

∠ C = \frac{x + w}{2} = \frac{15 8 ^{\circ} + 2 4 ^{\circ}}{2} = 9 1^{\circ}

Угол $D$ :

Он опирается на дугу $A BC$ :

∠ D = \frac{x + y}{2} = \frac{15 8 ^{\circ} + 10 6 ^{\circ}}{2} = 13 2^{\circ}

Проверка:

8 9^{\circ} + 4 8^{\circ} + 9 1^{\circ} + 13 2^{\circ} = 36 0^{\circ}

Ответ:

∠ A = 8 9^{\circ}, ∠ B = 4 8^{\circ}, ∠ C = 9 1^{\circ}, ∠ D = 13 2^{\circ}

Ответы на вопрос