Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор АВ; 2) при симметрии относительно точки С; 3) при симметрии относительно прямой АС.

Построение выполняется по правилам преобразований фигур.

Пусть дан треугольник $ABC$.

1) Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{AB}$

При параллельном переносе все точки фигуры перемещаются в одном направлении и на одно и то же расстояние, которое задает вектор $\overrightarrow{AB}$.

• Точку $A$ переносим на вектор $\overrightarrow{AB}$. Получаем точку $A_1$, причем:

Так как вектор начинается в точке $A$ и имеет направление к $B$, то $A_1$ совпадает с точкой $B$.

• Точку $B$ переносим на тот же вектор. Получаем точку $B_1$, такую что:

• Точку $C$ переносим на этот же вектор. Получаем точку $C_1$, такую что:

Соединяем полученные точки $A_1{B}_1{C}_1$. Это и есть образ треугольника $ABC$ при переносе на вектор $\overrightarrow{AB}$.

2) Симметрия относительно точки $C$

При центральной симметрии относительно точки $C$ точка $C$ остается на месте, а остальные точки переходят в противоположные относительно нее.

• Точка $C$ переходит сама в себя:

• Строим точку $A_1$ так, чтобы точка $C$ была серединой отрезка $A{A}_1$:

• Строим точку $B_1$ так, чтобы точка $C$ была серединой отрезка $B{B}_1$:

Соединяем точки $A_1$, $B_1$, $C_1$. Полученный треугольник $A_1{B}_1{C}_1$ — образ треугольника $ABC$ при симметрии относительно точки $C$.

3) Симметрия относительно прямой $AC$

При осевой симметрии относительно прямой $AC$:

• Точки, лежащие на оси симметрии, остаются на месте. Поэтому:

• Точку $B$ отражаем относительно прямой $AC$:

  1. Проводим через точку $B$ перпендикуляр к прямой $AC$.

  2. На продолжении этого перпендикуляра за прямой $AC$ откладываем отрезок такой же длины, как расстояние от $B$ до $AC$.

  3. Получаем точку $B_1$, для которой прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $B{B}_1$.

Соединяем точки $A$, $B_1$, $C$. Полученный треугольник $A{B}_{1}C$ — образ треугольника $ABC$ при симметрии относительно прямой $AC$.