В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны AC. Найдите угол B треугольника.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $BD$ — медиана, причём $BD=\frac12 AC$.

Найти: угол $B$.

Решение

1. Так как $BD$ — медиана треугольника $ABC$, точка $D$ является серединой стороны $AC$. Следовательно,

2. По условию задачи:

Таким образом, получаем:

3. Это означает, что точка $D$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника $ABC$. Следовательно, она является центром окружности, описанной около треугольника.

4. Поскольку центр окружности $D$ лежит на стороне $AC$, эта сторона является диаметром описанной окружности.

5. По теореме Фалеса вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^\circ$.

Угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$, поэтому:

Ответ: $90^\circ$.

Вывод: если медиана треугольника, проведённая к некоторой стороне, равна половине этой стороны, то треугольник является прямоугольным, а угол, из которого проведена медиана, равен $90^\circ$.