Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Площадь боковой поверхности призмы равна 32. Найдите высоту цилиндра.

Дано:

• Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра.

• Радиус основания цилиндра $r = 1$.

• Площадь боковой поверхности призмы $S_{\text{бок}} = 32$.

Найти: высоту цилиндра $h$.

Решение

1. Найдём сторону основания призмы.

Правильная четырёхугольная призма имеет в основании квадрат.

Поскольку призма описана около цилиндра, окружность основания цилиндра вписана в квадрат основания призмы.

Следовательно, сторона квадрата равна диаметру окружности:

2. Найдём периметр основания призмы.

Периметр квадрата вычисляется по формуле:

Подставим значение стороны:

3. Найдём высоту призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

По условию $S_{\text{бок}}=32$, поэтому:

Отсюда:

4. Определим высоту цилиндра.

Так как призма описана около цилиндра, высота цилиндра равна высоте призмы:

Ответ: $\boxed{4}$.