Рассматривается правильная четырёхугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. М – середина ребра AD. а) Изобразите на чертеже рассматриваемую призму и данную точку М. б) Пусть плоскость AB₁C₁D наклонена к плоскости основания под углом 60°. Выразите высоту АА₁ призмы через ребро основания. в) Приведите три примера такого расположения точки К грани А₁АВ₁В, при котором прямые МК и B₁D не являются скрещивающимися. г) Пусть плоскость AB₁C₁D наклонена к плоскости основания под углом 60°, ребро основания равно 5. Найдите площадь полной поверхности призмы.

а) Чертеж призмы и точки М

Рассмотрим правильную четырёхугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание ABCD является квадратом, а боковые рёбра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ перпендикулярны основанию.

Точка М находится на ребре AD и делит его пополам:

На чертеже нужно изобразить квадрат ABCD внизу, квадрат A₁B₁C₁D₁ сверху, соединить соответствующие вершины и отметить точку М на ребре AD.

б) Выразим высоту призмы через ребро основания

Пусть ребро основания равно $a$, а высота призмы:

Рассмотрим сечение плоскостью $A{B}_1{C}_{1}D$. Эта плоскость пересекает основание по диагональному отрезку $AD$ и образует с основанием угол $60^{\circ }$.

В сечении получаем прямоугольник $AB{B}_1{A}_1$-подобную фигуру, где угол между наклонной плоскостью и основанием определяется отношением высоты к проекции.

Проекция отрезка $A{B}_1$ на основание равна диагонали квадрата:

Высота призмы является перпендикулярной составляющей этого наклонного отрезка. Поэтому:

Так как:

получаем:

откуда:

Значит,

в) Примеры расположения точки К, при которых прямые МК и B₁D не являются скрещивающимися

Две прямые не являются скрещивающимися, если они либо пересекаются, либо лежат в одной плоскости.

Точка К находится на грани $A_{1}AB{B}_1$. Возможные варианты:

1. К = А.
   Тогда прямая $МК$ совпадает с ребром $AD$, а прямая $B_{1}D$ и $AD$ лежат в одной плоскости основания с диагональным направлением, поэтому прямые не являются скрещивающимися.

2. К = В.
   Прямая $МК$ проходит через вершину В, а $B_{1}D$ проходит через $B_1$ и D. Эти прямые находятся в боковой грани и имеют общую плоскость.

3. К = А₁.
   Прямая $M{A}_1$ и диагональ $B_{1}D$ принадлежат одной диагональной плоскости призмы, поэтому они не являются скрещивающимися.

г) Найдём площадь полной поверхности призмы

Дано:

Высота:

Подставляем:

Полная площадь поверхности правильной четырёхугольной призмы:

Основание — квадрат:

Тогда:

Боковая поверхность:

Периметр основания:

Следовательно:

Подставляем значения: