1. Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 2. Найдите высоту цилиндра. 2. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найти радиус основания и высоту конуса. 3. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов и равна 20 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Задача на нахождение высоты цилиндра:

Дано: длина окружности основания цилиндра равна 1, площадь боковой поверхности равна 2. Нужно найти высоту цилиндра.

Решение:

• Длина окружности основания цилиндра равна $2 \pi r = 1$, где $r$ — радиус основания.
  Из этого уравнения находим радиус:

  $$r = \frac{1}{2 \pi}$$

• Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

  $$S_{\text{бок}} = 2 \pi r h$$

  где $h$ — высота цилиндра. Нам известно, что площадь боковой поверхности равна 2:

  $$2 \pi r h = 2$$

  Подставляем значение $r = \frac{1}{2 \pi}$:

  $$2 \pi \cdot \frac{1}{2 \pi} \cdot h = 2$$

  Упростив:

  $$h = 2$$

Ответ: высота цилиндра $h = 2$ см.

2. Задача на нахождение радиуса основания и высоты конуса:

Дано: осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Нужно найти радиус основания и высоту конуса.

Решение:

• Осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник, где его высота $h_{\text{конус}}$ является высотой конуса, а длина стороны $10$ см — это длина бокового ребра треугольника.

• Радиус основания конуса $r$ можно найти через высоту осевого сечения:

  $$h_{\text{сечение}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 10 = 5\sqrt{3}$$

  Это высота треугольника, которая равна высоте конуса $h_{\text{конус}}$.

• Радиус основания равен половине основания треугольника, то есть:

  $$r = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}$$

Ответ: радиус основания $r = 5$ см, высота конуса $h = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ см.

3. Задача на нахождение площади боковой поверхности наклонного цилиндра:

Дано: диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов и равна 20 см. Нужно найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

• Диагональ осевого сечения цилиндра — это гипотенуза прямоугольного треугольника, в котором одна из сторон — это высота цилиндра $h$, а другая сторона — это радиус основания $r$.

• Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = 2 \pi r h$. Чтобы найти $r$ и $h$, используем данные о наклоне.

• Из условия задачи:

  $$\cos(60^\circ) = \frac{r}{20} \Rightarrow r = 20 \cdot \cos(60^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \, \text{см}$$ $$\sin(60^\circ) = \frac{h}{20} \Rightarrow h = 20 \cdot \sin(60^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17.32 \, \text{см}$$

• Теперь, зная $r = 10$ см и $h = 10\sqrt{3}$ см, находим площадь боковой поверхности:

  $$S_{\text{бок}} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot 10 \cdot 10\sqrt{3} = 200\pi \sqrt{3} \approx 1099.56 \, \text{см}^2$$

Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра $S_{\text{бок}} \approx 1099.56 \, \text{см}^2$.