2. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Площадь боковой поверхности призмы равна 8. Найдите высоту. 3. В цилиндрический сосуд налили 2900 см^3 воды. Уровень жидкости оказался равным 20 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см^3. 4. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 54 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.

2. Правильная четырехугольная призма, описанная около цилиндра:

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной призмы, нужно учесть, что она описана около цилиндра. Радиус основания цилиндра равен 1, и площадь боковой поверхности призмы равна 8.

Четырехугольная призма имеет два прямоугольных основания и боковую поверхность, которая состоит из четырех прямоугольных сторон. Каждая из этих сторон имеет ширину, равную периметру основания цилиндра, и высоту, равную высоте самой призмы.

Периметр основания цилиндра (круг) можно найти по формуле $P = 2\pi r$, где $r = 1$, то есть:

Площадь боковой поверхности призмы — это периметр основания, умноженный на высоту. Площадь боковой поверхности по условию задачи равна 8, следовательно:

Подставим $P = 2\pi$:

Решим это уравнение для $h$:

Таким образом, высота призмы равна $\frac{4}{\pi}$ см.

3. Объем детали, погруженной в сосуд:

Сначала определим объем воды, вытолкнутой деталью. Объем поднявшейся жидкости можно найти, умножив площадь основания сосуда на изменение уровня воды. Из условия задачи известно, что уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см, а объем воды, который был в сосуде до погружения детали, равен 2900 см³.

Объем вытолкнутой жидкости равен объему детали, так как деталь полностью погружена в воду. Площадь основания сосуда можно найти через объем и высоту. Так как уровень жидкости до погружения детали был 20 см, то площадь основания сосуда $S$ можно вычислить по формуле:

Теперь, зная, что уровень воды поднялся на 15 см, объем вытолкнутой жидкости (и объем детали) можно найти как:

Таким образом, объем детали равен 2175 см³.

4. Изменение уровня жидкости при переливе в сосуд с большим диаметром:

Предположим, что первый сосуд имеет диаметр $d_1$, а второй сосуд — диаметр $d_2 = 3d_1$, то есть диаметр второго сосуда в 3 раза больше. Площадь основания цилиндра пропорциональна квадрату его радиуса, а радиус второго сосуда в 3 раза больше, чем первого. Таким образом, площадь основания второго сосуда будет в $3^2 = 9$ раз больше.

Объем жидкости в первом сосуде, который равен $54 \times \pi r_1^2$, переливаем в второй сосуд. Объем оставшейся жидкости в первом сосуде остается тем же, но площадь основания второго сосуда больше, поэтому высота уровня жидкости в нем будет меньшей. Пусть $h_2$ — новый уровень жидкости во втором сосуде. Тогда для второго сосуда:

Так как $r_2 = 3r_1$, подставим это значение:

Упростим:

Таким образом, уровень жидкости во втором сосуде будет находиться на высоте 6 см.